三角形八字形定理（数学三角形八字图）

全等三角形太难了不会添加辅助线

在全等三角形的证明题中经常会遇到证明关系的题目关系一般包括数量关系和位置关系常见的数量关系为相等有些题目也考查倍数关系和差关系常见的位置关系为平行或垂直还有一种比较特殊的关系那就是垂直平分本篇主要介绍位置关系中的垂直证明垂直暂时有两种方法先介绍其中一种证明垂直常用的方法那就是通过证明两个锐角互余进而证明垂直当然有时也可以选择利用8字形进行证明

例题1已知如图在ABD中BCAD于点CE为BC上一点AEBDECCD延长AE交BD于点F求证AFBD

分析先通过HL定理斜边直角边定理证明ACEBCD可得到CAECBD由CAEAEC90AECBEF推出CBDBEF90在三角形中两个锐角互余即可得到另外一个角为直角即可证明两条线段垂直

本题也可借助8字形通过全等可得EADCBD再加上对顶角相等AECBEF即可得到BFEACE90

证明两个直角三角形全等需要找准判定定理不能看到直角三角形就用HL定理前面学习的SASASAAAS等定理也可以使用两个直角三角形需要满足斜边对应相等和一条直角边对应相等时才能利用HL定理证明两个直角三角形全等

例题2已知如图在正方形ABCD中ADABDABB90点EF分别在ABBC上且AEBFAF交DE于点G求证DEAF

分析已知DAE与ABF为直角三角形本题所给的条件为ADABAEBF两条都是直角边不能用HL定理证明应该用SAS证明两个三角形全等由此得到BAFADE由于BAFDAF90通过等量代换得到ADGDAG90从而可以证明DEAF

如果题目中证明两条线段的关系那么还需要证明两条的数量关系即证明AFDE

例题3如图在等腰直角三角形AOB中AOB90在等腰直角三角形EOF中EOF90连接AEBF求证AEBF

分析两个三角形都为等腰直角三角形可得OAOBOEOF借助手拉手模型可发现证明AOEBOF由AOBEOF90同时减去BOE得到AOEBOF等角加减等角得等角隐含条件之一通过SAS可证明两个三角形全等要证明AEBF可先延长AE交BF于点D通过证明两个锐角互余得到结论

在后续的学习过程中还会学习其它证明垂直的方法